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近期，美国宾夕法尼亚州立大学刘朝星教授课题组从理论上提出压电响应的突变可以表征一系列二维拓扑相变,从而第一次揭示了压电系数和拓扑相变间的关系。相关成果以“Piezoelectricity and Topological Quantum Phase Transitions in Two-Dimensional Spin-Orbit Coupled Crystals with Time-Reversal Symmetry”为题，发表在国际综合期刊《Nature Communications》上(Nature Communications, 11, 2290, 2020, https://doi.org/10.1038/s41467-020-16058-2)。
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拓扑学（topology）研究物体在连续变化下的行为。如果一个物体可以连续地变成另一个物体，那么它们拓扑等价；反之，拓扑不等价。在绝缘物质相（phase of matter）的研究中，连续变化对应的是绝热（adiabatic）变化（即变化不会关闭能隙），因而两个绝缘相是否拓扑等价由绝热变化的存在决定。如果一个相变发生在两个拓扑不等价的绝缘相之间，那么它一定会关闭能隙。这种相变被称为拓扑相变（topological phase transition）。
拓扑相变一般会引发某种物理响应的突变，因此实验上可以通过测量这些突变来确认拓扑相变的发生。一个众所周知的例子是量子霍尔效应中不同霍尔平台间的相变是拓扑相变；它会引发霍尔电导的突变。另外，量子自旋霍尔绝缘相和普通绝缘相之间的拓扑相变会引发两端点电导（two-terminal conductance）的突变。很多突变的物理响应（包括上述两个，以及很多其他的例子）都是由电磁场引发的。那么，除了材料对电磁场的响应之外，是否还有其他类型的物理响应在拓扑相变发生时会出现突变，从而成为拓扑相变的一个实验信号？
为了回答这个问题，本工作研究了压电响应在二维材料产生拓扑相变的变化，发现压电系数的确会出现一个突变，从而表征拓扑相变的发生。压电响应是指压力（而非电磁场）引发的电响应，由压电系数来衡量；压电响应的突变指的是压电系数产生了突变。本工作研究的系统是有时间反演对称性、有自旋轨道耦合且无相互作用的二维晶体。这类晶体可以有17种不同的平面群结构，其中10种结构由于有二维宇称（或垂直于平面的二重旋转）因而不允许压电响应的存在，而本工作则考虑了其他7种存在压电响应的晶体结构下出现拓扑相变的情况。在这些晶体结构中，我们发现压电响应和谷霍尔效应（valley Hall effect）之间存在着紧密的联系。
作为一个简单的例子，我们考虑一个二维体系，其低能有效理论可以被两个的带能隙的二维狄拉克（Dirac）哈密顿量来描述（见图1所示）。具有这种性质的体系可以在大量二维材料中找到，例如，二维材料XY2 （X=Mo/W，Y=S/Se）[1]。这两个狄拉克哈密顿量分别位于动量K和-K（即两个谷），并被时间反演对称联系。带能隙的狄拉克哈密顿量会在K和-K附近分别产生相反符号的贝利曲率（Berry curvature），从而给出相反的谷陈数（valley Chern number）。这里我们将谷陈数定义作在K和-K点附近的贝利曲率的积分之差，所以其本身并不一定是量子化的。由霍尔电导和陈数之间的正比关系，我们可以知道沿X方向的电场可以在Y方向上产生霍尔电流。但由于时间反演对称性，在K和-K附近产生的霍尔电流方向一定大小相同方向相反 （如图1a中的代表电场和电流方向的箭头所示），所以总的霍尔电流为零。
不过，这个体系中可以出现所谓的谷霍尔效应，而这个效应可以通过一些光学测量或者输运测量的手段来观测到[2,3]。对于二维狄拉克哈密顿量，应变的作用在低能下可以等效成一个赝规范场（pseudo-gauge field）。通过测量一些非均匀应变的二维材料中由于赝磁场（pseudo-magnetic field）而产生的朗道能级，赝规范场的效果已经得到实验证实[4]。
现在考虑一个随时间变化的应变张量u，相对应的赝规范场可以给出一个赝电场，如图1b中的所示（,而是应变张量u的某个分量）。与通常的电场不同的是，这个赝电场在时间反演操作下反向，所以在K和-K一定是方向相反的。再加上贝利曲率在K和-K方向相反，所以应力最终在K和-K产生方向相同的霍尔电流，如图1b所示。原则上这个电流可以直接在实验上测量，那么这个电流到底对应着什么样的响应呢？事实上，通过这个机制产生的电流 j 描述的是电子的位置在多大程度上偏离均匀形变，因而 j 将改变一个表面的总电荷（非电荷密度）并贡献一部分电极化P随时间的变化（中改变表面电荷的部分）。因此前面的讨论意味着随时间变化的应变会产生随时间变化的电极化，而这正对应着压电效应。
在上述的例子中，我们只考虑了低能电子对于压电效应的贡献。而在实验中，压电效应，还可以来源于高能的电子能带，以及离子的极化，所以总的压电系数并不都与拓扑有关。但是，我们注意到，当狄拉克哈密顿量的能隙合上再重新打开时，一个拓扑量子相变会发生，而在K和-K附近谷陈数的变化（注意，这里不是陈数本身）会是量子化的。由于能隙关闭只跟低能电子有关而且低能电子的压电效应所产生的电流是由谷陈数所决定的，所以我们预言总的压电系数在经过这个相变时也会有一个突变，而这个突变直接正比于体系的拓扑不变量的变化。基于以上简单的模型所给出的物理图像，本工作分类了所有7种有压电效应的晶格结构中所有可能的能隙关闭的情况，并发现，如果能隙关闭发生在两个绝缘态之间而且仅需要一个微调参数，那么它一定改变Z2拓扑不变量或谷陈数。这些拓扑相变一定会引起压电常数的突变，从而说明压电常数的突变可以被作为这些二维拓扑相变的实验证据。
根据这个理论，本工作预言这种压电常数的突变可以在碲化汞量子阱和钡锰锑中被观测到。如图2（a）所示，在碲化汞量子阱中，能隙的关闭可以通过调节量子阱的厚度实现。这个能隙关闭的过程已经被之前的实验证实是一个改变Z2拓扑不变量（从自旋量子霍尔绝缘体到普通的绝缘体）的拓扑相变。本工作预言这个拓扑相变会导致压电系数的突变（如图2（b）），这个理论预言有待实验检验。
本工作揭示了压电系数的突变和二维拓扑相变间的关系，并提出了一个普适的理论框架来描述它，因此将有助于人们更好地理解压电响应在拓扑物理里的意义。
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原文引自“两江科技评论”微信公众号。
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